Question

Rezolvati in multimea numerelor naturale ecuatia
$3 x^{2} - y^{2} =2015$

Answer 1

precizez:
 U ( ) =ultima cifra  a ce e in paranteza
 pp=patrat perfect
:
cum U(pp)  poate fi 0,1,4,5,6,9 =>
=> U(3*x^2) poate fi 0,3,2,5,8,7
iar U(y^2) poate fi 0,1,4,5,6,9
cum avem U(3*x^2) -U(y^2) =5 ( doarece U(2015) =5 )
=> singurile cazuri sunt :
U(3*x^2) =0 si  U(y^2) =5
sau
U(3*x^2) =5 si  U(y^2) =0

cazul I) U(3*x^2) =0 si  U(y^2) =5
 calculez cazul banal pt x=0 => x>0
cum 
U(3*x^2) =0 => U(x^2)=0 => U(x)=0 si x>0 => x = 10 * a, a natural,nenul
U(y^2) =5  =>U(y)=5 => y=5*b ,b natural,nenul (si impar dar nu conteaza aici) 
deci:
3*x^2-y^2=2015 <=>
<=>300*a^2=2015+25*b^2 <=>
<=>60*a^2=403+5*b^2 
cum U(60*a^2)=0 => U(403+5*b^2 ) trebuie sa fie 0 <=>
<=>U(3+5*b^2 )=0 (imposibil ,doarece U(3+5*impar )=8 )

cazul II) U(3*x^2) =5 si  U(y^2) =0
daca y=0 => 3*x^2 =2015 (imposibil in multimea nr naturale)
=> y>0 
=> y=10*b     si x=5*a ,a nr impar,nenul, b nr natural,nenul
=> 3*25*a^2=2015+100*b<=>
<=>3*5*a^2=403+20*b
cum U(403+20*b) =3 
iar U(3*5*a^2)=5 => imposibil
=> ecuatia nu are solutii in multimea nr naturale...