Question

Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia:
|x-1| + |x-2| + ... + |x-2012|=2013(x-2013)

(prof. V. Nechita, Gazeta Matematica 12/2009)

Answer 1

Membrul stâng este pozitiv, deci și membrul drept va fi pozitiv, rezultă

că x - 2013 > 0 ⇒ x > 2013 .

 Deci expresiile din module sunt toate pozitive și se poate scrie :

x - 1 + x - 2 + x - 3+ ... + x - 2012 = 2013x - 2013·2013 ⇒

⇒ 2012 x -(1+2+3+ ... +2012) = 2013x - 2013·2013 ⇒

⇒ 2012x - (2012·2013)/2 = 2013x - 2013·2013 ⇒ 2012x - 1006·2013 =

= 2013x - 2013·2013 ⇒2013·2013 - 1006·2013 =  2013x - 2012x ⇒

⇒ 2013(2013- 1006) = x ⇒ x = 2013 · 1007

Answer 2

Notăm  x - 2013 = y ⇒ x = y+2013        (1)

Ecuația se scrie :

|y+2012| +|y+2011| +|y+2010| + ... +|y+1|  = 2013y

Partea din stânga ecuației inițiale este pozitivă ⇒ y > 0

Atunci, ultima ecuație devine:

2012y +2012·2013/2 = 2013y ⇒ 1006·2013 = 2013y - 2012y ⇒

⇒ y = 1006·2013      (2)

 Din relațiile (1), (2) ⇒ x = 1006·2013 +2013 = 2013(1006+1) = 2013·1007 =