Matematică, întrebare adresată de rici1978, 8 ani în urmă

Rezolvati in Q ecuatia 1 +1/1+2+1/1+2+3+...+1/1+2+3+...+n=4024/2013

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de popandrei93

$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+...+n}=\frac{2}{1*2}+\frac{2}{2*3}+\frac{2}{3*4}+...+\frac{2}{n*(n+1)}=2*(\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{n*(n+1)})=2* (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})= 2*(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1})=2*(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1})=2*\frac{n}{n+1}$

$2*\frac{n}{n+1}=\frac{4024}{2013}$

$\frac{n}{n+1}=\frac{2012}{2013}$

$n=2012$

Asta e rezolvarea. Daca vrei sa intelegi cu adevarat ce s-a intamplat (asta daca nu ai observat inca) sa ma anunti. Daca vrei doar rezolvarea, asta e tot.

rici1978: te-as ruga sa detaliezi putin cum ai ajuns la 2/1×2+2×n/n+1

popandrei93: Nu e o teorie anume. Sunt doar artificii matematice. Adica, improvizatii. Am observat ceva interesant, si am schimbat exercitiul ca sa fie asa cum vreau eu, desigur, fara a schimba valoarea lui de adevar. Nu am facut decat sa il modelez, nu e diferit cu nimic. Si anume...Stiam ca exista o suma cunoscuta de forma 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+... Si stiam ca suma aceea are un procedeu unic de rezolvare, prin spargerea fractiilor in diferente a cate 2, care aplificate dau acelasi lucru ca inainte.

popandrei93: Exemplu 1/(1*2)=1/1-1/2. Daca amplifici dupa egal cele doua fractii asa incat sa aiba acelasi numitor, vei ajunge fix la fractia din stanga 1/(1*2). Stiind de existenta acestei sume pe care ai vazut cum am rezolvat-o in exercitiu, am cautat metode sa ajung la acea forma ajutatoare. Si apoi am vazut lucrul interesant. Tot ce se afla sub fractii in exercitiul tau, sunt de fapt 1+2+3+...+n.

popandrei93: Adica alta suma remarcabila. Care face n(n+1)/2. Si am luat fiecare fractie in parte si am aplicat exact aceasta formula.
Exemplu: 1/(1+2+3)=1/(3*4:2). Si cum imi doream doar forma de 3*4 la numitor, am mutat ":2" sus, astfel devenind inmultire in loc de impartirea pe care o avea. Iar fractia a devenit 2/(3*4).
Dar cum inca nu am ajuns la forma dorita de 1/(3*4), am vazut ca toate fractiile il au pe "2" la numarator, asa ca l-am dat factor comun si am scapat de el din toate fractiile.

popandrei93: Probabil ultima nelamurire este ce am facut cu acel "1+" de la inceputul exercitiului. Ei bine, am avut nevoie pentru ca acea suma sa functioneze sa incep de la 1/(1*2)+1/(2*3)... Iar eu nu aveam acel 1/(1*2) din fractiile date, caci prima fractie data de execitiu: 1/(1+2) a dat 1/(2*3:2)=2/(2*3) care va deveni mai apoi 1/(2*3) dupa ce voi da factor comun acel doi de la numarator.

popandrei93: Asa ca am facut inca un artificiu si am transformat acel "1" in 2/2, care dupa ce am dat factor comun va fi exact 1/2, adica 1/(1*2) de care aveam nevoie la inceput.

Stiu ca e mult. Sper ca ai inteles ideea de baza. Daca mai ai intrebari, dupa ce citesti de 2 ori continutul acestui mesaj, sa imi spui.

rici1978: Multumesc!Am inteles ideea.

Întrebarea anterioară

Următoarea întrebare

Alte întrebări interesante

Matematică, 8 ani în urmă

(218-68)÷2×0= .... ?

Limba română, 8 ani în urmă

scrie cu litere numeralele 31, 168, 1342 , 10482...

Istorie, 8 ani în urmă

Buna ziua! Stie cineva ce dusmani avea Mihai Viteazul? Ma puteti ajuta cu un raspuns? Am nevoie de raspuns in 45 de minute.. Am si alte teme de facut, ma ajutati??

Biologie, 8 ani în urmă

VA ROG MULT DE TOT AJUTOOOOOR!!!! DAU PUNCTE, COROANA SI MA ABONEZ!!! FACTORII ABIOTICI SI BIOCENOZA LACULUI VĂCĂREȘTI! VA ROG MUUUUUUUUULT DE TOT!!!