Question

Rezolvati in Q+ ecuatia:
$\frac{x+1}{2} + \frac{x+2}{3} +................+ \frac{x+n}{n+1} =n,unde n$∈N* fixat.
VA ROG AJUTATI_MA!!!

Answer 1

Salut,

Membrul stâng conține "n" fracții, vezi numărătorul fiecărei fracții, valoarea care se adună la x este pe rând 1, 2, ... până la "n". Cum de la 1 la "n" avem "n" termeni, înseamnă că în membrul stâng avem exact "n" fracții.

Vom folosi această informație foarte importantă, pentru că în membrul drept (ghici ?), îl avem chiar pe "n".

Scriem pe "n" din membrul drept așa: n = 1 + 1 + ... + 1, unde 1 apare de "n" ori.

$\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{x+2}{3}+\ldots+\dfrac{x+n}{n+1}=1+1+\ldots+1$

Luăm câte un 1 din membrul drept și îl "aruncăm" peste egal, în membrul stâng, fiecare fracție din membrul stâng va avea câte un 1, niciuna nu va fi fără "pereche":

$\dfrac{x+1}{2}-1+\dfrac{x+2}{3}-1+\ldots+\dfrac{x+n}{n+1}-1=0,\ sau\\\\\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x-1}{3}+\ldots+\dfrac{x-1}{n+1}=0,\ sau\\\\ (x-1)\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n+1}\right)=0.$

A doua paranteză nu poate fi egală cu zero, conform enunțului, deci singura posibilitate este ca x -1 = 0, deci x = 1, care este singura soluție a ecuației.

Simplu, nu ? :-))).

Green eyes.