Question

Rezolvati in R ecuatia:
3(x-2)^2 = 2x +4
(x+2)^2=x(3x +2)

Answer 1

Pentru prima ecuatie:
$3 (x-2) ^{2} =2x+4$

Intai impunem conditii de existenta pentru ca observam ca in membrul stang avem un numar pozitiv, fiind "ceva" la patrat, inmultit cu 3, deci pozitiv. Pentru a avea o posibila egalitate, impunem aceeasi conditie in membrul drept, adica:

$2x+4 \geq 0 <=> 2x \geq -4 <=> x \geq -2$

Deci orice solutie gasim, va trebui sa satisfaca aceasta conditie.

Prelucram ecuatia, incepand cu ridicarea la patrat din membrul stang si obtinem: 

$3(x^{2}-4x+4)=2x+4 <=> 3x^{2}-12x+12=2x+4$

Ducem totul in primul membru:

$3x^{2}-10x+8=0$

Ecuatia obtinuta este de gradul 2, cu coeficientii a=3, b=-10, c=8
Discriminantul este $delta=b^{2}-4ac=100-4*3*8=100-96=4=2^{2}>0$
Delta este pozitiv strict, asa incat ecuatia admite 2 solutii reale distincte.

Deci solutiile sunt:

$x_{1}= \frac{-b+ \sqrt{delta} }{2a} = \frac{10+ \sqrt{4} }{6} = \frac{12}{6} =2 \\ x_{2}= \frac{-b- \sqrt{delta} }{2a} = \frac{10- \sqrt{4} }{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Se observa ca ambele solutii satisfac conditia $x \geq -2$.

Procedam asemanator pentru a doua ecuatie, insa aici este putin mai dificila precizarea conditiilor de existenta. Observam ca membrul stang este un patrat, deci va fi termen pozitiv obligatoriu. Termenul din membrul drept este o functie de gradul 2, al carei semn poate fi precizat, insa, pentru simplitate, calculam direct solutiile ecuatiei si apoi le verificam.

Prelucram ecuatia 2:

$(x+2)^{2}=x(3x +2) <=> x^{2}+4x+4=3x^{2}+2x$

Trecem totul in al doilea membru, doar din motivul ca semnul coeficientului lui $x^{2}$ va fi +.

$2x^{2}-2x-4=0$

Discriminantul este: $delta = 4-4*2*(-4)=36=6^{2}>0$, deci ecuatia admite 2 solutii reale distincte:

$x_{1}= \frac{-b+ \sqrt{delta} }{2a} = \frac{2+ \sqrt{36} }{4} = \frac{8}{4} =2 \\ x_{2}= \frac{-b- \sqrt{delta} }{2a} = \frac{2- \sqrt{36} }{4} = \frac{-4}{4}=-1$

Cu solutiile gasite, inlocuim in ecuatia data, pentru verificare:
Pentru $x=2$, avem $(2+2)^{2}=2*(3*2+2) <=> 16=2*8$ (adevarat)
Pentru $x=-1$, avem $(2-1)^{2}=(-1)*(3*(-1)+2) <=> 1=-(-1)$ (adevarat)

Deci solutiile gasite satisfac ecuatia data.