Question

Rezolvati in R ecuatia: $\sqrt[3]{x+1} +\sqrt{x+2} =5$

Answer 1

Răspuns:

x=7, care convuine

Explicație pas cu pas:

C.E x≥-2

'se observa "***  ca x=7 satisface ecuatia

intr-adevar

∛8+√9=2+3=5

cum functia arasata

f(x) =∛(x+1) +√9x+2) este o suma de functii strict crescatoare si pozitive, este si ea strict crescatoare, deci injectiva, deci x=7 este SOLUTIE UNICA

Extra

***

(ramane inte noi) stiam ideea de rezolvare dar nu gaseam valoarea.. sau mi-as fi pierdut mult timp cu incercarile, daca nu "pica fisa"..::::))  asa ca....m-am ajuta de altiimaiinteligentidecat mine care au facut programul...am gasit grafic x=7 si am facut DUPA aceea demonstratia; carecv este insa absolut riguroas si completa, deci punctabila la maximum

in conditiide examen, cand NU ai acces la program, "you are on your own "cum zice partenerul strategic

Answer 2

$\it \sqrt[3]{x+1}+\sqrt{x+2}=5 \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ \\ Not\breve am\ \sqrt[3]{x+1}=t \Rightarrow x+1=t^3|_{+1} \Rightarrow x+2=t^3+1\ \ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow t+\sqrt{t^3+1}=5 \Rightarrow \sqrt{t^3+1}=5-t \Rightarrow (\sqrt{t^3+1})^2=(5-t)^2 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow t^3+1=25-10t+t^2 \Rightarrow t^3-t^2+10t-24=0\ \ \ \ \ \ (3)$

Folosim faptul că rădăcinile întregi, dacă există, se află printre

divizorii termenului liber.

t = 1 nu convine (este vizibil !)

$\it t=2 \Rightarrow 8-4+20-24=0 \Rightarrow0=0\ (A) \Rightarrow t=2\ este\ o\ solu\c{\it t}ie$

Acum, ecuația (3) se poate scrie:

$\it t^3-2t^2+t^2-2t+12-24=0 \Rightarrow t^2(t-2)+t(t-2)+12(t-2)=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (t-2)(\underbrace{t^2+t+12}_{>0})=0 \Rightarrow t-2=0 \Rightarrow t=2, \ r\breve acin\breve a\ real\breve a\ unic\breve a$

Revenim asupra notației :

$\it \sqrt[3]{\it x+1}=t \Rightarrow x+1=t^3|_{-1} \Rightarrow x=t^3-1 \Rightarrow x=2^3-1=7$