Question

Rezolvați în R ecuațiile:
a) √(x+6)=x
b) (3^x)+9^x=12

Answer 1

$\displaystyle a)~Conditia~de~existenta~a~radicalului:~x+6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -6. \\ \\ Totodata~x= \sqrt{x+6} \ge 0. ~Din~ultimele~doua~relatii~rezulta \\ \\ x \ge 0.\\ \\ Prin~ridicare~la~patrat,~obtinem:~x+6=x^2 \Leftrightarrow x^2-x-6=0. \\ \\ \Delta=25 \\ \\ x_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=\frac{1-5}{2}=-2,~nu~convine!~(caci~x \ge 0) \\ \\ x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=\frac{1+5}{2}=3. \\ \\ Deci~solutia~este~3.$

$\displaystyle b)~Notam ~3^x=t\ \textgreater \ 0. \\ \\ Ecuatia~devine:~3^x+(3^x)^2=12 \Leftrightarrow t+t^2=12 \Leftrightarrow t^2+t-12=0. \\ \\ \Delta=49. \\ \\ t_1= \frac{-1- \sqrt{49}}{2}=-4,~nu~convine!~(caci~t\ \textgreater \ 0) \\ \\ t_2= \frac{-1+ \sqrt{49}}{2}=3. \\ \\ Deci~t=3 \Rightarrow 3^x=3 \Rightarrow \boxed{x=1}~.$

$Observatie:~Functia~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~f(x)=3^x+9^x~este~strict~ \\ \\ crescatoare.~Prin~urmare,~ecuatia~f(x)=12~are~cel~mult~o \\ \\ solutie~reala.~Cum~f(1)=12,~rezulta~ca~1~este~unica~solutie~a \\ \\ ecuatiei.$

Answer 2

a)
conditie de existenta: x+6>=0 <=> x>=-6.

rad(x+6)=x <=> x+6=x^2 <=> x^2-x-6=0 <=> (x-3)(x+2)=0 <=> x=3 sau x=-2.

x=3: rad(x+6)=x <=> rad(9)=3, adevarat.
x=-2: rad(x+6)=x <=> rad(4)=-2, fals.

In concluzie, solutia ecuatiei din enunt este x=3.

b)
3^x+9^x=12 <=> (3^x-3)(3^x+4)=0 <=> 3^x=3 sau 3^x=-4.
3^x=-4 nu poate avea loc, deoarece 3^x>0, oricare ar fi x apartine R.
Ramane deci 3^x=3 <=> x=1.

EDIT: gresisem la prima problema