Question

rezolvați în R inecuația

Answer 1

Cum rezolvăm o inecuație?

pasul 1: stabilim forma echivalentă a inecuației

• dacă în membrul drept avem altceva decât 0, trecem totul în membrul stâng ⇒ în membrul drept al expresiei vom obține 0

$\dfrac{7x-5}{x+1} > x \iff \dfrac{7x-5}{x+1} - x > 0$

• aducem la același numitor și scriem totul sub o singură fracție:

$\dfrac{7x-5 - x(x+1)}{x+1} > 0 \iff \dfrac{7x-5 - x^{2} - x}{x+1} > 0$

• pentru a ușura rezolvarea la numărător, înmulțim cu (-1), se schimbă semnul inecuației:

$\dfrac{- x^{2} + 6x - 5}{x+1} > 0 \ \Big|\cdot(-1) \iff \dfrac{x^{2} - 6x + 5}{x+1} < 0$

pasul 2: aflăm zerourile și stabilim domeniul de definiție

• considerăm funcțiile $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ și rezolvăm cele două ecuații atașate funcțiilor:

$f(x) = x^{2} - 6x + 5$

$f(x) = 0 \implies x^{2} - 6x + 5 = 0$

$\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

$x_{1} = \dfrac{-(-6) - \sqrt{16} }{2 \cdot 1} = \dfrac{6 - 4}{2} = \dfrac{2}{2} =\bf 1$

$x_{2} = \dfrac{-(-6) + \sqrt{16} }{2 \cdot 1} = \dfrac{6 + 4}{2} = \dfrac{10}{2} =\bf 5$

și:

$g(x) = x + 1$

$g(x) \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$

• la acest pas, stabilim domeniul de existență:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq - 1 \implies \bf D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$

pasul 3: tabelul de semn, soluția inecuației

• construim tabelul de semn al celor două funcții:

$\left |\begin{array}{c} x\\\ \\x^{2} -5x + 6 \\ \\ x + 1 \\ \\ \dfrac{x^{2} - 6x + 5}{x+1} \end{array}\right| \left|\begin{array}{ccccccccc}-\infty & & -1 & & 1 & & 5 & & +\infty \\ \\+&+&+&+&0&-&0&+&+ \\ \\-&-&0&+&+&+&+&+&+ \\ \\ \\ -&-&|&+&0&-&0&+&+\end{array}\right|$

• din tabel, alegem semnul corespunzător semnului inecuației ( < ):

$\implies \bf x \in \Big(-\infty; -1\Big) \cup \Big(1;5\Big)$