Question

Rezolvați in Z ecuația : x^3-y^3=xy+13.

Answer 1

Trecem termenul xy in partea cealalta
$x^{3}-xy-y^{3}=13$
observam ca 
$8=2^{3}<13<3^{3}=27$ Pentru ca scazi dintr-un numar la a treia un alt numar intreg la puterea a treia, atunci deja x=3,y=2 este o prima solutie posibila
$3^{3}-3*2-2^{3}=27-6-8=27-14=13$ Deci asta este o solutie
sa ne uitam cu atentie asupra ecuatiei pe care o avem
$x^{3}-xy-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-xy$ deci observam ca si in cazul in care am pastra diferenta x-y la o valoare relativ mica, al doilea termen al produsului va creste foarte rapid daca dam valori mai mari pentru x si y. Deci nu va mai fi alta solutie
Observi apoi ca relatia $x^{3}-xy-y^{3}$ este simetrica pentru numere negative
astfel, daca x=-y si y=-x avem relatia
$(-y)^3-(-y)*(-x)-(-x)^{3}=x^{3}-xy-y^{3}$ deci sunt aceeasi expresie
atunci deduci doua lucruri
odata: daca x=3,y=2 este o solutie, atunci si x=(-y)=-2 si y=(-x)=-3 este o solutie
Doi: inegalitatea cu cresterea rapida de mai sus va deveni inegalitate cu scadere foarte rapida pentru numere negative

Deci solutiile intregi sunt (x,y)=(-2,-3),(3,2)