Question

rezolvati inecuatia |x-3|-2|x+1|<=x

Answer 1

Va trebui sa luam fiecare caz al valorilor din modul:

I. Prima valoare pozitiva, a doua pozitiva;
II. prima pozitiva, a doua negativa;
III. prima negativa, a doua pozitiva;
IV. ambele negative

I.
x - 3 ≥ 0 ==> x ≥ 3
x + 1 ≥ 0 ==> x ≥ -1
Din cele doua rezulta ca x ∈ [3, ∞] in acest caz

Ambele valori vor iesi din modul cu semnul neschimbat:

x - 3 - 2(x + 1) ≤ x
x ≥ -5/2 

Daca intersectam solutia cu conditia de mai sus, aflam ca:
x ∈ [3, ∞]

II.
x - 3 ≥ 0 ==> x ≥ 3
x + 1 < 0 ==> x < -1
Nu mai are rost sa continuam deoarece nu exista x ∈ R care sa satisfaca cele doua inecuatii
Caz imposibil

III.
x - 3 < 0  ==> x < 3
x + 1 ≥ 0 ==> x ≥ -1
x ∈ [-1, 3)

Prima valoare va iesi din modul cu semnul inversat:

-(x - 3) - 2(x + 1) ≤ x
x ≥ 1 / 4

Intersectat cu conditia de mai sus: x ∈ [1/4, 3)

IV.
x - 3 < 0 ==> x < 3
x + 1 < 0 ==> x < -1
x ∈ (-∞, -1)

Ambele valori vor iesi din modul cu semnul schimbat:
-(x - 3) + 2(x + 1) ≤ x
4 ≤ 0   -   relatie care este mereu falsa ==> Caz imposibil


Solutia finala este reuniunea solutiilor din toate cazurile:
x ∈ [1/4, ∞)