Question

Rezolvati inegalitatile
a) 1/x+1/y mai mare sau egal decat 4/x+y
b)(a1+1)(a2+1) mai mare sau egal decat 4
la punctul b e a indice 1 respectiv a indice 2

Answer 1

 folosesc > pt. mai mare sau egal, pt a scurta scrierea. 
a)1/x+1/y > 4/x+y <=> (y+x)/xy > 4/x+y <=>(y+x)(x+y)>4xy <=>x+y)^2>4xy
<=>x^2+2xy+y^2>4xy <=> x^2+2xy+y^2-4xy>0 <=>
 <=>x^2-2xy+y^2>0 <=> (x-y)^2>0 pt.ca orice patrat e pozitiv.
b)(a1+1)(a2+1)>4 <=> a1a2+a1+a2+1>4 <=>a1a2+a1+a2>3 (*)
a1, a2 nenule, alfel ar fi 1>4 fals
daca a1, a2 mai mari sau egale cu 1 am avea: fiecare termen al sumei de la (*)  > sau =1 , => a1a2+a1+a2> sau = 3.