Question

Rezolvați sistemul omogen:
4x^2+xy+5y^2=0
X^2-3xy+2y^2=0

Answer 1

Aduni ambele ecuatii din sistem si => 5x^2 - 2xy + 7y^2 =0
Descompui ecuatia dupa (a-b)^2 astfel a-ul va fii radical din 5x si b-ul radical din 7y totul la patrat.
Pentru a obtine acel binom, scadem 2 radical (5*7) xy si adunam 2 radical (5*7) xy  
5x^2 - 2 radical (5*7) xy + 7 y^2 + 2 radical (5*7) - 2xy = 0
=> (radical (5) *x - radical (7) *y ) ^2 + 2 radical (35) xy  - 2xy =0
=> (radical (5) *x - radical (7) *y ) ^2 + 2xy (radical (35) - 1) = 0
De aici rezulta:
 
Cazul 1: (radical (5) *x - radical (7) *y ) ^2 = 0
=> radical (5) *x - radical (7) *y = 0
=> radical (5) *x = radical (7) * y deci x=y=0

Cazul 2: 2xy=0 x=y=0

Cazul 3: 

(radical (5) *x - radical (7) *y ) ^2 = - 2xy (radical (35) - 1)
dar nu exista pentru ca un nr la patrat nu da un rezultat negativ

Singurele cazuri sunt pentru x =0 si y=0