Question

rezolvati urmatoarele ecuatii inR:
a) 1+x+x²=acolada 1+x si o inchizi
b) 1+x+x²=acolada x+x² si o inchizi. se refera la partea fractionara sau ceva de genul. va rooog urgent

Answer 1

sa ne amintim
 [a]= partea intreaga din a = cel mai mare  numar intreg ≤a
 [a]:R->Z
 si{a}=parte fractionara de a= a- [a]
{a}:R->[0;1)

exemple [2,3]=2;      {2,3}=2,3-2=0,3
[-2,3]=-3;     {-2,3}= -2,3- (-3)=-2,3+3=3-2,3=0,7
mai avem relatia {a+k}={a}, pt k ∈Z



a)
1+x+x²={1+x}

 0≤1+x+x²<1 pt ca expresia din stanga trebuie sa fie egala cu  o parte fractionara, ia partea fractionara  ia valori doar in [0;1)

din 0≤1+x+x²<1 scazand 1 in fiecare termen al inecuatiei duble , obtinem

-1≤x²+x<0
 de fapt  -1/4≤ x²+x pt ca -1/4 este minimul functiei x²+x
deci ramane conditia
-1/4≤ x²+x <0 pt x∈(-1,0) pt ca acestea sunt radacinile ecuatiei atasate functiei x²+x; si functia va lua valori negative intre radacini

acum
{1+x}={x}, pt ca 1∈Z, nu influenteza

cum x ∈ (-1.0), avem din definitie {x}=x-[x]=x-(-1)  pt ca  '-1"este partea intreaga a unui numar cuprins in intervalul (-1 ;0)
deci {1+x}={x}=x-(-1)=x+1
avem deci de rezolvat ecuatia
x²+x+1=x+1 dar numai in intervalul (-1;0)
rezolvand ecuatia obtinem x²=0; x=0
x∉ (-1;0) ecuatia NU are solutie
S=∅

b) cu acelerasi considerente, avem
-1/4≤x²+x<0, x∈ (-1.0)
trebuie sa rezolvam in intervalul (-1;0) ecuatia
 x²+x+1= {x² +x}
 cum x∈ (-1;0), x² +x ∈ [-1/4;0),  atunci [x² +x]=-1
 si
{x² +x}=x² +x -[x² +x]=x² +x - (-1)=x² +x +1

deci ecuatia noastra devine

x² +x +1=x² +x +1 o identitate, valabila pe tot domeniul de definitie
 S= (-1;0)