Question

Rezolvati urmatoarele probleme:
1.Fie M mijlocul medianei [AA'] a unui triunghi ΔABCΔ si CM U(intors invers)AB={N}
Demonstarti ca:
a) Daca [AN] ≡[A'N], atunci BC=2AC
b) Daca Bc=2AC, atunci [AN]≡[A'N]
2. Fie un triunghi ΔABC , M mijlocul laturii [AB] , N mijlocul laturii [AC], un punct P ∈(MN) si AP U(intors invers) BC={Q}
Demonstrati ca :
a)daca[AP] este mediana a ΔAMN , atunci [AQ] este mediana a ΔABC
b)daca [AQ] este mediana a ΔABC, atunci [AP] este mediana a ΔAMN
Urgent!

Answer 1

1.
[AA']mediana
M-mij.[AA']
AN=A'N
--------------------
BC=2AC
---------------------

Comparam:ΔAMN  {      An=A'N (ip3) (L)
                  cu      {       Am =A'M (ip2) (L)      ⇒
                  ΔA'MN{      MN=MN (L)  (Latura comuna)
⇒(L.L.L)⇒ΔAMN≡ΔA'MN ⇒unghiul AMN=ung.A'MN(suplementar)
⇒m(ung.AMN)=m(ung.A'MN)=180°:2=90°⇒m(ung.AMC)=m(ung.A'MC)=90°

Comparam: ΔAMC       MA=MA'(ip2) (C)  
                    cu     {                             ⇒(C.C)⇒ΔAMC=A'MC⇒AC=A'C⇒
                ΔA'MC      MC=MC   (C)       ⇒AC=A'C⇒AC=$\frac{BC}{2}$
                                                           ⇒BC=2AC




b)
 [AA']mediana
 M-mij.[AA']
BC=2AC
----------------
AN=AN
--------------
Comparam:ΔACM           AM=A'M (ip2)  (L)
                 cu        {       CM=CM (L)             ⇒
              ΔA'CM             AC=A'C (ip3) (L)
⇒ΔACM≡ΔA'CM⇒ung.AMC≡ung.A'MC(suplementar)⇒m(ung.AMC)=m(A'MC)⇒180°:2=90°⇒m(ung.AMC)=m(ung. A'MN)=90°


Comparam:ΔAMN        AM=AM (ip2)  (C)
                    cu     {                                 ⇒(C.C) ⇒ ΔAMN≡ΔA'MN⇒AN=A'N 
               ΔA'MN          MN=MN   (C) 


2. M-mij. [BC]
    N-mij.[AC]
    [AP] mediana in ΔAMN
-----------------------------------------
AQ-mediana in ΔAMC

Avem = In AMC
[MN] -mediana         
                        ⇒P=centru de greutate
[CP]-mediana       ΔAMC⇒[AQ] ⇒⇒ce-a de a treia mediana a ΔAMC

Sper sa intelegi !!!
Succes!!!