Question

Rezolvați va rog ecuatia cu logaritm la patrat!

Answer 1

[tex]\it log_3(9x-3)=log_3 ^2\left(x-\dfrac{1}{3}\right) \Leftrightarrow log_39\left(x-\dfrac{1}{3}\right) = log_3 ^2\left(x-\dfrac{1}{3}\right) \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow log_3 9+log_3\left(x-\dfrac{1}{3}\right) =log_3 ^2\left(x-\dfrac{1}{3}\right) \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow 2+log_3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)=log_3 ^2\left(x-\dfrac{1}{3}\right) [/tex]

$\it\ Notez\ \ t = log_3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)$

Ecuația devine:

[tex]\it 2+t=t^2 \Leftrightarrow t^2-t-2=0 \Leftrightarrow t^2+t-2t-2=0\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow t(t+1) -2(t+1) =0 \Leftrightarrow (t+1)(t-2)=0 \Leftrightarrow t_1=-1,\ t_2=2[/tex]

Revenim asupra notației și obținem:

[tex]\it log_3\left(x-\dfrac{1}{3}\right) = -1 \Rightarrow x-\dfrac{1}{3}=3^{-1}\Rightarrow x-\dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow x_1=\dfrac{2}{3} \\ \\ \\ log_3\left(x-\dfrac{1}{3}\right) = 2 \Rightarrow x-\dfrac{1}{3}=3^2 \Rightarrow x=9+\dfrac{1}{3} \Rightarrow x_2 = \dfrac{28}{3} [/tex]

Condiția de existență a ecuației este :

$\it x-\dfrac{1}{3} \ \textgreater \ 0 \Rightarrow x\ \textgreater \ \dfrac{1}{3} \Rightarrow x\in \left(\dfrac{1}{3},\ \infty \right)$

$\it x_1,\ x_2 \in\left(\dfrac{1}{3},\ \infty\right)$

Deci, mulțimea soluțiilor ecuației date este :

$\it S=\left\{\dfrac{2}{3},\ \dfrac{28}{3}\right \}$