Question

Rezolvati, va rog .......................Multumesc !

Answer 1

Fie t masura in radiani a unui unghi ascutit al triunghiului dreptunghic, t∈(0, π/2) ⇒ Cele 2 catete au lungimile asin(t), respectiv a*cos(t)

Aria este A(t)=asin(t)*acos(t)/2 = a²sin(t)cos(t)/2, o functie A: (0, π/2) -> R

Unghiul t pt care aria A(t) este maxima se determina rezolvand ecuatia A'(t)=0

A'(t)=a²/2*(cos²(t)-sin²(t)) = 0 ⇒ cos²(t)-sin²(t) = 0 ⇒ sin²(t) = cos²(t), Putem imparti ecuatia prin cos²(t), deoarece cos(t) ≠ 0 pe domeniul de definitie ⇒

(sin(t)/cos(t))² = 1 ⇒ tg²(t) = 1 ⇒ tg(t) = 1 ⇒ t=π/4, adica 45° ⇒ maximul ariei se obtine pt triunghiul dreptunghic isoscel de ipotenuza a, catetele acestuia fiind egale intre ele cu a/√2

Amax = A(π/4) = a²*(1/√2)²/2 = a²/4

Amax = a²/4