Question

Rezolvati va rog. Urgent.

Answer 1

a)

Teorema lui Lagrange are următoarea consecinţă, utilă pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei funcţii:

Fie o funcţie derivabilă pe I. Atunci :

1) funcţia este monoton descrescătoare pe I dacă şi numai dacă $f'(x) \leq 0$, ∀ x ∈ I.

2) funcţia este monoton crescătoare pe I dacă şi numai dacă $f' \geq 0,$ ∀ x ∈ I.

Observatii:

a) dacă f este derivabilă pe I şi $f'(x) < 0$, ∀ x ∈ I , respectiv $f'(x) > 0$ ∀ x ∈ I, atunci f este strict descrescătoare pe I, respectiv strict crescătoare.

b) Etapele stabilirii intervalelor de monotonie ale unei funcţii $f : I$→ $R$ sunt următoarele:

1)se calculează $f'(x)$

2)se rezolvă ecuaţia $f'(x) = 0$

3)se stabileşte semnul funcţiei $f'(x)$ pe intervalele pe care aceasta nu se anulează.

4)se stabilesc intervalele de monotonie în funcţie de semnul derivatei cu ajutorul tabelului de variaţie al funcţiei f(x).

Rezolvare:

$f'(x) = (4ln x - x)' = 4 * \frac{1}{x} - 1 = \frac{4}{x} - 1$

$f'(x) > 0$ pentru x > 4, iar $f'(x) < 0$ pentru x < 4

Astfel, functia f este crescatoare pe intervalul (4, ∞) si descrescatoare pe intervalul (0, 4).

b)

$\lim_{x \to \infty} (x - \frac{x^2-2x+3}{x} ) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x^2+2x-3}{x} = \lim_{x \to \infty} (2 - \frac{3}{x} ) = 2$

$f(e) = 4 ln e - e = 4 - e$

2 > 4 - e, prin urmare $\lim_{x \to \infty} (x - \frac{x^2-2x+3}{x} ) > f(e)$

c)

$\int\limits {\frac{4lnx - x}{x} } \, dx = \int\limits {\frac{4lnx}{x} } \, -1dx$

Folosind urmatoarea:

$\int\limits {f(x)} \, +g(x)dx = \int\limits {f(x)} \, dx + \int\limits {g(x)} \, dx$

Vom avea:

$\int\limits {\frac{4lnx}{x} } \, dx - \int\limits {1} \, dx = 2ln^{2} (x) - x$

$2ln^{2}(e) - e - (2ln^2{1} - 1 ) = 2 * 1 - e + 1 = 3 - e$

Prin urmare, $\int\limits^e_1 {\frac{f(x)}{x} } \, dx = 3 - e$