Question

Rog sa rezolvati sistemul
X+y+2xy=0.
X^2+y^2=2

Answer 1

Adunand cele doua ecuatii ale sistemului din enunt obtinem:

( x^2 + 2*x*y + y^2 ) + ( x + y ) - 2 = 0
( x + y )^2 + ( x + y ) - 2 = 0                   (1)

Fie z∈R a. i. x + y = z , atunci relatia (1) devine:

z^2 + z - 2 = 0
Δ = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 ⇒ Δ = 9 > 0 ⇒ z1,z2 ∈ R
z1 = ( -1 - √9 ) ÷ 2 ⇔ z1 = ( -1 - 3 ) ÷ 2 ⇔ z1 = ( - 4 ) ÷ 2 ⇒ z1 = - 2
z2 = ( -1 + √9 )÷ 2 ⇔ z2 = ( -1 +3 ) ÷ 2 ⇔ z2 = 2 ÷ 2 ⇒ z2 = 1

Asadar putem avea urmatoarele doua cazuri:

I) x + y = - 2 ⇒ y = - 2 - x

Din ecuatiile sistemului initial avem ca:

2*x*y + ( x + y ) = 0

Deducem astfel ca:

2*x*( - 2 - x ) - 2 = 0                               (2)

Vom simplifica cu ( - 2 ) ambii membri ai relatiei (2) si obtinem:

x*( x + 2 ) + 1 = 0 ⇔ x^2 + 2*x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1 )^2 = 0 ⇔ x +1 = 0 ⇒ x1 = -1

y = - 2 - x si x1 = -1 implica: y1 = -2 - ( - 1 ) = -2 + 1 ⇒ y1 = -1

De aici obtinem prima solutie a sistemului din enunt si anume ( -1, -1 )

II) x + y = 1 ⇒ y = 1 - x

La fel ca si in cazul I) de mai sus avem:

2*x*( 1 - x ) + 1 = 0 ⇒
1 + 2*x - 2*x^2 = 0                              (3)

Pentru usurinta in calcul inmultim ambii membri ai relatiei de la (3) cu
( - 1 ) si avem ca:

2*x^2 - 2*x - 1 = 0

Δ = ( - 2 )^2 - 4*2*( - 1 ) = 4+8 ⇒ Δ = 12 > 0 ⇒ x2,x3 ∈ R
√Δ = √12 ⇒ √Δ = 2√3

x2 = [ - ( - 2 ) - √Δ ] ÷ ( 2 * 2 ) ⇔ x2 = ( 2 - 2√3 ) ÷ 4 ⇔
x2 = [ 2 * ( 1 - √3 ) ] ÷ 4 ⇒ x2 = ( 1 - √3 ) ÷  2

x3 = [ - ( - 2 ) + √Δ ] ÷ ( 2 * 2 ) ⇔ x3 = ( 2 + 2√3 ) ÷ 4 ⇔
x3 = [ 2 * ( 1 + √3 ) ]÷ 4 ⇒ x3 = ( 1 + √3 ) ÷ 2

Pentru a-l calcula pe y avem ca:

y = 1 - x si x2 = ( 1 - √3 ) ÷ 2 , asadar:
y2 = 1 - [ ( 1 - √3 ) ÷ 2 ] ⇒ y2 = ( 1 + √3 ) ÷ 2 

Cum y = 1 - x si x3 = ( 1 + √3 ) ÷ 2 , obtinem:
y3 = 1 - [ ( 1 + √3 ) ÷ 2 ] ⇒ y3 = ( 1 - √3 ) ÷ 2

In final obtinem ca solutia sistemului din enuntul problemei prezentate este multimea:

S = { ( -1 , -1 ); ( ( 1 - √3 )÷ 2 , ( 1 + √3 )÷2 ); ( ( 1 + √3 )÷2 , ( 1 - √3 )÷2 ) }

Sper sa fie completa rezolvarea.
BAFTA