Question

S=1/(1×4)+1+(4×7)+1/(7×10)+.....+1/(103×106)

Answer 1

La o suma de genul, trebuie sa reduci tot ce e in mijloc si sa ramai doar cu extremitatile. 
De ex 1 / (1 x 4) ai vrea sa-l ai sub forma 1/1 - 1/4, urmat de +1/4 - 1/7, si ai scapa in modul asta de 1/4, la fel, si de urmatorii termeni; dar iti mai trebuie un coeficient de 1/3 ca sa iasa corect diferenta:
$\frac{1}{1*4} = \frac{1}{3}*( \frac{1}{1}- \frac{1}{4})$
$\frac{1}{4*7}= \frac{1}{3}*( \frac{1}{4}- \frac{1}{7})$
si tot asa pana la:
$\frac{1}{103*106}= \frac{1}{3}*( \frac{1}{103}- \frac{1}{106})$
stii ca e corect acel coeficient de 1/3, fiindca daca aduci la acelasi numitor comun ajungi de unde ai plecat:
$\frac{1}{3}*( \frac{1}{103}- \frac{1}{106})= \frac{1}{3}*( \frac{106-103}{103*106})= \frac{1}{3}* \frac{3}{103*106}= \frac{1}{103*106}$
deci toata suma aceea devine:
$\frac{1}{3}*(1- \frac{1}{4})+ \frac{1}{3}*( \frac{1}{4}- \frac{1}{7})+...+ \frac{1}{3}*( \frac{1}{103}- \frac{1}{106})=$
$\frac{1}{3}*1- \frac{1}{3}* \frac{1}{4}+ \frac{1}{3}* \frac{1}{4}- \frac{1}{3}* \frac{1}{7}+...+ \frac{1}{3}* \frac{1}{103}- \frac{1}{3}* \frac{1}{106}=$
toti termenii din mijloc se reduc, mai ramane doar primul si ultimul:
$=\frac{1}{3}- \frac{1}{3}* \frac{1}{106}= \frac{1}{3}*(1- \frac{1}{106})= \frac{1}{3}* \frac{105}{106}= \frac{35}{106}$