Question

S= (1+3+5+....+2013)-(2+4+6+....+2012)=

Answer 1

$S=(1+3+5+...+2013)-(2+4+6+...+2012)= \\ =(1-2)+(3-4)+(5-6)+...+(2011-2012)+2013= \\ =(-1)+(-1)+(-1)+...+(-1)+2013= \\ =1006*(-1)+2013= \\ =1007. \\ \\ (In~randurile~2~si~3~sunt~1006~paranteze.)$

Answer 2

modificam descazutul:
scadem din fiecare termen al sumei 1 si obtinem -
0+2+4+...+2012, dam factor comun 2, obtinem -
2(0+1+2+...+1006) de aici aici rezulta ca l-am scazut pe 1 din 1007 termeni
descazutul poate fi scris ca:
2+4+...+2012+1007

(2+4+..+2012+1007)-(2+4+6+...+2012)=
inlcouim 2+4+6.+..+2012 cu x si obtinem
x+1007-x=1007