Question

S=2+2(la puterea a 2)+2(la puterea a 3 )+...........2 (la puterea 2004)

Aratati ca:
S este divizibila cu 5
S este divizibila cu 7
Va rog!!!

Answer 1

* S+2=2+2+2^2+2^3+...+2^2004
2^x+2^x=2^(x+1)

=> S+2= 2^2+2^2+2^3+...+2^2004
S+2= 2^3+2^3+2^4+...2^2004
s.a.m.d
S+2=2^2004+2^2004=2^2005

=> S=2^2005-2

U(2^1)=2 ; U(2^2)=4; U(2^3)=8; U(2^4)=6; si apoi se repeta la fiecare 4 => U(2^2005)=U(2^(2005:4))= U(2^(501 rest 1))= U(2^1)=2
=> U(S) =2-2=0
Orice nr nat care are ultima cifra 0 este divizibil cu 10 (5x2) deci si cu 5
=> S divizibil cu 5


* S=(2+2^2+2^3)+2^3(2+2^2+2^3) +... +2^668(2+2^2+2^3)=
(2+2^2+2^3)(1+2^3+2^6+...+2^668) =7x2(1+2^3+2^6+...+2^668)=7xun nr
=> S= M(7) (adică multiplu de 7)
=> S divizibil cu 7