Question

S3, exercițiul 1 b, stie cineva cum se rezolva cu sirul lui Rolle? As vrea o explicație detaliata va rog :(

Answer 1

Corectat: g(-1/2)=arctg(-1/2)-arctg(1/2)-m=-m-2arctg(-1/2).Discutia am facut-o cu ajutorul sirului lui Rolle, cum a cerut autorul, evident se poate si grafic mai usor, deoarece sirul lui Rolle cere un tablou cu doua intrari fiind si un parametru m.
Fie x1,x2,....radacinile derivatei f'(x)=0, se calculea valorile functiei pentru radacinile derivatei si eventual limitele la - si + infinit- daca e cazul-, sirurile radacinilor derivatei si sirul valorilor(si limitele) functiei se aseaza corespunzator unele sub altele, tinand cont de o  consecinta a teoremei lui Rolle, intre doua radacini consecutive ale derivatei exista cel mult o radacina a functiei, acolo unde se produce o schimbare a semnului functiei exista o radacina a functiei, unde semnul nu se schimba nu avem radacina ( se considera si intervalele (-∞, x1) si (xk, +∞), x1 si xk fiind prima si ultima radacina a derivatei, cate schimbari de semn apar atatea radacini are functia, radacinile functiei fiind separate de catre radacinile derivatei ( care ne dau si intervalele in care apar radacinile functiei). Observatie : daca functia e polinomiala putem avea si radacini multiple, situatie care se recunoaste cand si  functia este egala cu 0 in radacina derivatei. Pot exista si radacini triple sau de or ce ordin , dar e o alta discutie.

Answer 2

lim f(x) cand x->=π/2-π/2=0
lim f(x) cand x->=∞= (-π/2)-(-π/2)=0
 studiem monotonioa funmctiei cu ajutorul derivatei 1
 f'(x) = 1/(1+x²)-1/1+(x+1)²= ((x²+2x+2)-(x²+1))/(1+x²) (x²+2x+2)=
(2x+1)/(x²+1)(2x²+2x+2)
se anuleaza in x=-1/2
inainte de anulare va fi negativa, dupa anulare, pozitiva
va avea deci un minim=arctg(-1/2)-arctg(1/2)=-2arctg(1/2)

vezi tabel si grafic; paginile au cam acelasi continut, dar in ca ca nu o poti roti pe prima am facut si pe format portret

era de astepta ca functia sa ia numai valori negative pt ca arctx este functiecrescatoare deci arctgx<arctg(x+1)

deci ducand dtreapta f(x) =y=m, paralela cu Oy, distingem cazurile

ne imaginam ca o miscam de jos in sus paralel cu axa Ox, venindde la -∞si mergand catre +∞

m∈(-∞;-2arctg(1/2)) 0 solutii

 m=-2arctg(1/2) o solitie

 m∈(-2arctg(1/2);0)  2solutii

m∈[0;∞) 0 soltii

la m= limit si pt m=0 ar fi 2 solutiidac punctelede la -∞si +∞ar putea fi considerate solutii