Question

Sa demonstezi ca numarul √5+√6 este irational

Answer 1

Răspuns

Poza conține rezolvarea.

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Folosim reducerea la absurd. Presupunem ca aceasta suma este rationala, deci se poate scrie ca un raport a doua numere rationale:

P.p rad(5) + rad(6) apartine lui Q =>
$\sqrt{5} + \sqrt{6} = \frac{x}{y}$
, unde x,y apartin lui Q, y diferit de 0 si x si y prime intre ele (fractie ireductibila)

Rescriem ecuatia:
$\sqrt{5} = \frac{x}{y} - \sqrt{6}$
Ridicam totul la patrat:

$5 = \frac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} } - 2 \frac{x}{y} \sqrt{6} + 6$
Cu atentie marita trecem 5 in dreapta si radical din 6 in stanga:

$- 2 \frac{x}{y} \sqrt{6} = \frac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} } + 1 \\ \frac{ - 2x}{y} \sqrt{6} = \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{ {y}^{2} } \\ - 2x \sqrt{6} = {x}^{2} + {y}^{2} \\ \sqrt{6} = - \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{2x}$
Dar x,y erau rationale, deci asta inseamna ca si radical din 6 este rational, ceea ce este fals... De unde contradictie, ipoteza noastra este falsa

Rad(5) + rad(6) este irational