Question

Sa sa determine a,b stiind ca ecuatia f(x)=o admite o radacina tripla (imagine)

Answer 1

O alta varianta de rezolvare diferita de cea a lui Gunty este sa scrii relatiile lui Viete. Stii ca daca ai o ecuatie de gradul al 4lea de forma
$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ cu solutiile x1,x2,x3,x4 atunci stim ca avem relatiile
$x1+x2+x3+x4=-\frac{b}{a}$
$x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=\frac{c}{a}$
In cazul nostru, stim ca x1=x2=x3=t si sa notam x4=v. Atunci avem
$3t+v=14\Rightarrow v=14-3t$
$3t^{2}+3tv=72\Rightarrow 3t^{2}+3t(14-3t)=72\Rightarrow -6t^{2}+42t-72=0\Rightarrow t^{2}-7t+12=t^{2}-4t-3t+12=t(t-4)-3(t-4)=(t-3)(t-4)$
Atunci avem 2 perechi de solutii
I) t=3 atunci
$v=14-3t=14-9=5$
Atunci stim ca
$f(5)=625-14*125+72*25+5a+b=0\Rightarrow 5a+b=-675\Rightarrow b=-5a-675$
$f(3)=0\Rightarrow 81-14*27+72*9-3a+b=351+3a-5a-675=0\Rightarrow 2a=-324\Rightarrow a=-162$
Atunci avem
$b=-5a-675=810-675=135$
Deci acesta e un set de solutii a=-162 si b=135
II) t=4 atunci
$v=14-3t=14-12=2$
Avem atunci
$f(4)=4^{4}-14*64+72*16+4a+b=512+4a+b=0\Rightarrow b=-4a-512$
$f(2)=16-14*8+72*4+2a+b=192+2a-4a-512=-2a-320=0\Rightarrow a=-160$
Atunci avem
$b=-4a-512=640-512=128$
Deci solutiile sunt a=-160 si b=128