Question

Sa se afle aria figurii plane marginite de liniile $y= x^{2} , y= \frac{1}{x} ,x= \frac{1}{2}$

Answer 1

Trebuie sa reprezinti graficele pe axa xOy (am atasat imaginea) si iti vei da seama ca, aria figurii plane marginite de acele linii este suprafata hasurata dintre
x = 1/2 si x = 1.

A(1,1) este intersectia celor doua grafice y=1/x si y = x^2

1/x = x^2 => x^3 = 1 => x = 1 -> y = 1 => A (1,1) 

Observam ca aria este integrala de la 1/2 la 1 din f(x)-ul cel de sus - f(x)-ul cel de jos, adica:

$A = \int\limits^1_ \frac{1}{2} \ (\frac{1}{x}-x^2) dx = lnx\Big|_ \frac{1}{2}^ 1 - \dfrac{x^3}{3}\Big|_ \frac{1}{2}^ 1 = ln1 - ln \frac{1}{2} - \dfrac{1}{3}+ \dfrac{\frac{1}{8}} {3} = \\ \\ =-ln2^{(-1)}- \dfrac{1}{3} + \frac{1}{24} = ln2 - \dfrac{8+1}{24} = ln2 - \dfrac{7}{24}$