Question

Sa se afle aria pătratului înscris in cercul înscris in triunghiul echilateral de latura 5radical 3

Answer 1

l = 5*rad3 = rad25*rad3 = rad(25*3) = rad75
Fie triunghiul ABC si patratul DEFG
AM, BN, CP inaltimile, totodata medianele,
bisectoarele si mediatoarele in /\ABC
Centrul cercului inscris in triunghi este intersectia bisectoarelor, adica AM n BN n CP, pe care il notam O
Aflam raza cercului, adica OM, ON sau OP
Luam pe AM drept mediana si calculam pe OM pentru a afla raza
O este centrul de greutate rezulta OA = 2/3 din AM si OM = 1/3 din AM; OA=2*OM si AM = AO+OM = 2*OM+OM = 3*OM
AM este si inaltime rezulta /\ABM dreptunghic in M
AM^2 + MB^2 = AB^2
(3*OM)^2 + (rad75 / 2)^2 = (rad75)^2
9 * OM^2 + (rad75 / rad4)^2 = 75
9 * OM^2 + [rad(75/4)]^2 = 75
9 * OM^2 + 75/4 = 75
9 * OM^2 = 75 - 75/4
9 * OM^2 = 300/4 - 75/4
9 * OM^2 = 225/4
OM^2 = 225/4 : 9
OM^2 = 225/36
OM = 15/6 = 2,5

□DEFG inscris in cerc rezulta diametrul cercului este egal cu diagonala patratului
2*OM = DF
DF=5
DE^2 + EF^2 = DF^2
DE^2 + DE^2 = 5^2 = 25
2(DE^2) = 25
DE^2 = 12,5
A = DE^2 = 12,5