Question

Sa se afle aria pătratului înscris in cercul înscris in triunghiul echilateral de latura 5 radical din 3.

Answer 1

Centrul cercului inscris in triunghiul echilateral reprezinta ortocentrul triunghiului, adica intersectia intaltimilor. Dar cum triunghiul este echilateral, atunci acesta se suprapune cu centrul de greutate, despre care stim ca se afla la doua treimi de varf si la o treime de baza.

Cum inaltimea intrun triunghi echilateral este L*√3 / 2 iar L=5*√3
=> h = 5*3/2 = 15/2. 

Dar cum centrul cercului inscris se afla la 1/3 de baza => raza cercului este h*1/3 => r = 15/2 * 1/3 = 15/6 = 5/2.

Avand un patrat inscris in cerc, diagonala acestuia este egala cu diagonala cercului, adica 2*r = 2 * 5/2 = 5.

Diagonala patratului este p*√2 = 5=> p = 5/√2 (p = latura patratului)
=> p = 5*√2 / 2.

Iar aria patratului A este p*p => A = (5*√2 / 2 ) * (5*√2 / 2 ) => A = 25 * 2/4 = 25/2.