Question

Sa se afle minimul si maximul functiei
$f:D-\ \textgreater \ R, f(x)= 2^{ \sqrt{2-x} }$

Answer 1

Pentru cl.a X-a. Functia g(x) = 2-x e functie de gr. I cu a < 0 , deci strict descrescatoare pe domeniul dat de conditia de existenta a radicalului: 2-x≥0 ⇒ x≤2, adica x∈(-∞;2], deci g  va avea valoarea cea mai mica, pentru valoarea cea mai mare a lui x ⇒ min g(x)=g(2)=0, adica
g(x)≥0 pentru ∀x∈(-∞;2],analog si radicalul $\sqrt{2-x}$. Functia exponentiala cu baza 2 ( mai mare ca 1), f:(-∞;2]→R, f(x)=$2^{ \sqrt{2-x} }$ este crescatoare,  deci f(x)=$2^{ \sqrt{2-x} }$ va avea valoarea minima pentru valoarea minima a radicalului adica min f(x)=f(2)=$2^{0}$=1, singura conditie de marginire ⇒ f, are numai un punct de extrem A(2;1).
Pt. clasa a XI-a. Derivata lui f :(-∞;2]→R, $f'(x)=- \frac{1}{2 \sqrt{2-x} } 2^{ \sqrt{2-x} } \ \textless \ 0,pentru,x\ \textless \ 2,$, deci functia f, e strict descrescatoare pentru x∈(-∞;2], trecand la limita la -∞ ⇒f tinde la +∞, iar f(2)=1,  este valoarea minima a functiei, deci x=2 punct de minim si  Imf=[1,+∞)