Question

Sa se afle ultimele 2014 cifre ale numarului 7000 la puterea 671

Answer 1

7000^671 = 7^671 * 1000^671 = 7^671 * (10^3)^671 = 7^671 * 10^2013 = 7^671 * 1000...0 cu 2013 zerouri
Orice rezultat ar da 7^671, inmultit cu 10^2013 va avea 2013 zerouri la sfarsit, deci a 2014-a ultima cifra va fi ultima cifra a lui 7^671
O ultima cifra a unei puteri de 7 se repeta din 4 in 4, posibilele ultime cifre ale unei puteri de 7 sunt 7, 9, 3 si 1, iar 671:4 da restul 3, asa ca u(7^671)=3 si ultimele 2014 cifre ale lui 7000^671 sunt un 3 si 2013 zerouri

Answer 2

$7000^{671} =\Big( 7\cdot 1000\Big)^{671} = 7^{671} \cdot 1000^{671}= 7^{671}\cdot \big[10^3\big]^{671} = \\ \\ =7^{671}\cdot 10^{3\cdot 671} = 7^{671}\cdot 10^{2013} \\ \\ Observam ca ultimele 2013 cifre sunt 0, deoarece este 10^{2013} factor. \\ Trebuie sa aflam cifra dinaintea celor 2013 de zero care va fi ultima \\ cifra a lui 7^{671}. \\ \\U(7^1) = 7\\ U(7^2) = 9 \\ U(7^3) = 3 \quad \big\{9\cdot 7 = 63\big\} \\ U(7^4) = 1 \quad \big\{3\cdot 7 = 21\big\}$
$-----------\\ U(7^5) = 7 \quad \big\{1\cdot 7 = 7\big\} \\ U(7^6) = 9 \quad \big\{7\cdot 7 = 49\big\} \\ . \\ .\\. \\ \\ Observam ca este un ciclu de cate 4, apoi se repeta. \\ Impartim pe 671 la 4 \Rightarrow 671:4 = 167 rest 3 \\ \ Deci, ciclul se repeta de 167 ori, iar ultima cifra va fi a 3-a din ciclu, \\ adica cifra 3.$
$\Rightarrow U(7^{671} }) = 3$

$Deci, ultimele 2014 cifre ale numarului 7000^{671} sunt: \\ \\ 300000....000\quad \big\{0 de 2013 ori\big\} .$