Question

Sa se afle valorile parametrului real a pentru care parabola de ecuatie y=x^2+ax+25 este tangenta la axa Ox.

Answer 1

Dacă parabola este tangentă axei Ox, înseamnă că aceasta atinge această axă doar cu vârful, adică ecuația y=0 are o singură rădăcină.

În general, pentru o parabolă $y=ax^{2}+by+c$, coordonatele vârfului sunt:

$V( \frac{-b}{2a}, \frac{-delta}{4a} )$

A doua coordonată a lui V reprezintă ordonata acestuia, adică acea componentă de pe axa Oy, insă noi știm că parabola noastră atinge Ox chiar în vârf. Asta înseamnă că vârful este situat pe axa Ox, deci practic ordonata lui V este 0 pentru parabola dată în enunț.

În cazul de față, a=1, b=a, c=25. Atenție să nu confunzi a-ul ca parametru al parabolei și a-ul egal cu 1, care este de fapt coeficientul lui $x^{2}$

$delta=b^{2}-4ac=a^{2}-100$

De aici, $\frac{100-a^{2}}{4}=0 =\ \textgreater \ a=10$
Deci parabola este $y=x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}$

Se observă că aceasta atinge Ox într-un singur punct, pentru că ecuația y=0 are singura soluție x=-5.

Parabola arată ca în figură, dar poate avea și ramurile în jos, în imagine este prezentat un grafic pentru un coeficient al lui $x^{2}$ pozitiv.