Question

Sa se afle valorile parametrului real m pentru care ecuatia $mx^2-2(m-2)x-m-10=0$ are doua solutii reale de semne diferite

Answer 1

$mx^2-2(m-2)x-m-10=0$

Pentru început, ca să aibă două soluții reale distincte, $\Delta$ trebuie să fie mai mare decât 0.

[tex]\Delta\ \textgreater \ 0 \Leftrightarrow [-2(m-2)]^2-4m(-m-10)\ \textgreater \ 0 \Rightarrow\\\\ 4m^2-16m+16+4m^2+40m\ \textgreater \ 0 \Rightarrow\\\\ 8m^2+24m+16\ \textgreater \ 0/:8 \Rightarrow\\\\ m^2+3m+2\ \textgreater \ 0[/tex]

De unde aflăm $m_1=-2$ și $m_2=-1$.

Deci, o primă condiție $m\in(-\infty;-2)\cup(-1;\infty)~~~~(I)$.

Apoi, dacă soluțiile au semne contrare, însemnă că produsul lor va fi un număr negativ, adică mai mic decât 0, iar din relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al II-lea, cunoaștem că produsul $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Deci:

$\frac{c}{a}\ \textless \ 0 \Leftrightarrow \frac{-m-10}{m} \ \textless \ 0 \Leftrightarrow \frac{-(m+10)}{m} \ \textless \ 0$

Pentru a rezolva această inecuație, poți face tabel de semn pentru numărător, pentru numitor, și să cauți intervalele pe care au semne contrare, unde câtul lor este mai mic decât 0.

Sau - altă variantă - știind că dacă împarți pe -(m+10) la m, dă un număr mai mic decât zero, înseamnă că au semne contrare, așa că și produsul lor va fi mai mic decât 0.

Deci:

$-(m+10)m\ \textless \ 0$

Cele două soluții sunt $m_1=-10$ și $m_2=0$. Știind că între rădăcini este semn contrar lui $a$, adică plus, iar în afara rădăcililor semnul lui $a$, adică minus (ceea ce ne intereseză pe noi) rezultă o a doua condiție:

$m\in(-\infty;-10)\cup (0;\infty)~~~~~~~(II)$

Din (I) și (II) $\Rightarrow$ 

$m\in [(-\infty;-2)\cup(-1;\infty)]\cap[(-\infty;-10)\cup (0;\infty)] \Leftrightarrow \\\\m\in(-\infty;-10)\cup(0:\infty)$