Question

Sa se afle valorile parametrului real m pentru care suma solutiilor ecuatiei x^2+(m^2+4m-5)x-m=0 este egala cu zero

Answer 1

sper să fie bine și clară

Answer 2

   
Solutiile unei ecuatii de gradul 2 sunt punctele de intersectie dintre graficul functiei de gradul 2, care este o parabola, si aza Ox.

Pentru ca suma solutiilor sa fie zero, este necesar ca solutiile sa fie numere opuse, de exemplu 2 si -2.

Aceste numere de pe aza x sunt simetrice fata de axa y.
 
Rezulta ca axa de simetrie a graficului functiei atasate ecuatiei, trebuie sa coincida cu axa Oy.

Asta se intampla atunci cand coeficientul lui x este egal cu zero.


 [tex]\displaystyle\\ x^2+(m^2+4m-5)x-m=0\\ \text{Coeficientul lui x trebuie sa fie egal cu zero.}\\\\ m^2+4m-5=0\\\\ m_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2}=\\\\ =\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}=-2\pm3\\\\ m_1=-2+3=\boxed{\bf1}\\ m_2=-2-3=\boxed{\bf-5}\\\\ m=1\\ x^2-1=0\Longrightarrow\text{solutii reale}\\ x_{12}=\pm\sqrt1\\ \boxed{x_1=1 ~si~x_2=-1}~~~x_1+x_2=1-1=0[/tex]

[tex]\displaystyle\\ m=-5\\ x^2-(-5)=0\\ x^2+5=0 \Longrightarrow\text{solutii imaginare (NU SUNT complex conjugate)}\\ x_{12}=\pm\sqrt{-5}\\ \boxed{\bf x_1=i\sqrt{5} ~si~x_2=-i\sqrt{5}}~~~x_1+x_2=i\sqrt{5}-i\sqrt{5}=0[/tex]