Question

Sa se afle x apartine N pentru care fractia 5x+3 pe 2x+5 apartine N.

Answer 1

Răspuns:

x=7

Explicație pas cu pas:

$\frac{5x+3}{2x+5}$∈Ν, inmultim cu 2, avand grija sa verificam eventuale solutii (daca T e nr natural, atunci si 2T e tot nr natural), motivul e sa scapam de 5x/2x

deci $\frac{10x+6}{2x+5}$∈Ν, iar $\frac{10x+6}{2x+5}=\frac{10x+25-19}{2x+5}=5-\frac{19}{2x+5}$∈Ν

daca 5 - Y e natural, inseamna ca Y este un nr intreg (nu neaparat natural, poate fi negativ de exemplu), deci $\frac{19}{2x+5}$∈Z (unde x e natural).

Solutii posibile: 2x+5∈{-19:-1:1:19}, deci 2x∈{-24:-16:-4:14} ca solutii de luat in discutie

Dar x∈N, deci singura solutie posibila este x=7.

Verificare: $\frac{5x+3}{2x+5}=\frac{38}{19} =2$, deci x=7 e o solutie valabila (si unica)

Answer 2

$\it x\in\mathbb{N},\ \ \dfrac{5x+3}{2x+5}\in\mathbb{N},\ x=?\\ \\ \\ \dfrac{5x+3}{2x+5}\in\mathbb{N} \Rightarrow 2x+5|5x+3 \Rightarrow 2x+5|(5x+3)\cdot2 \Rightarrow 2x+5|10x+6\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Dar,\ 2x+5|2x+5 \Rightarrow 2x+5|(2x+5)\cdot5 \Rightarrow 2x+5|10x+25\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 2x+5|10x+25-10x-6 \Rightarrow 2x+3|19 \Rightarrow 2x+5\in D^{+}_{19} \Rightarrow$

$\it \Rightarrow 2x+5\in\{1,\ 1 9\}|_{-5}\ \stackrel{x\in\mathbb{N}}{\Longrightarrow}\ 2x=14 \Rightarrow|_{:2} \Rightarrow x=7$