Question

sa se afle x din egalitatea [4,x]/(36,x)=(36,x)/[9,x]

Answer 1

Stim ca avem relatia
$[a,b]=\frac{a*b}{(a,b)}$ adica cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul numerelor supra cel mare mare divizor comun
In cazul nostru
$[4,x]=\frac{4*x}{(4,x)}$
$[9,x]=\frac{9*x}{(9,x)}$
Atunci
$\frac{4*x}{(4,x)*(36,x)}=\frac{(36,x)*(9,x)}{9*x}\Rightarrow 36x^{2}=(4,x)*(9,x)*(36,x)^{2}$
Care este fix relatia pe care o ai tu in comentariu
Stim ca x este un nr natural, deci denumitorul trebuie sa fie un multiplu patrat perfect al numitorului.
36 este multiplul lui 4 si 9, deci oricare ar fi divizorul comun cel mai mare intre x si 4 si x si 9, atunci cel intre x si 36 va fi produsul acestora. Atunci facand urmatoarele notatii

$(4,x)=a$
$(9,x)=b$
$(36,x)=a*b$
Avem
$36x^{2}=a*b*(a*b)^{2}\Rightarrow x^{2}=a*b\frac{(a*b)^{2}}{36}\Rightarrow x=\sqrt{a*b}*\frac{a*b}{6}$
Dar a si b stim ca sunt divizori ai lui 4 respectiv 9, deci sunt primi intre ei. Deci pentru a obtine un produs a*b patrat perfect(astfel incat radicalul sa fie un numar natural, caci x este numar natural) trebuie ca la randul lor a si b sa fie patrate perfecte.
Avem atunci 2 cazuri
1) fie a=1 si b=1, caz in care $x=\sqrt{1}*\frac{1*1}{6}=\frac{1}{6}$ ceea ce nu poate fi corect pentru ca x este un numar natural
2) fie a=4 si b=9(celelalte patrate perfecte ramase divizori ai lui 4 respectiv 9) caz in care $x=\sqrt{36}*\frac{36}{6}=6*6=36$ deco aceasta e valoarea corecta