Question

Sa se arata ca daca nr. a,b,c sunt in progresie aritmetică atunci si nr a^2 +ab+b^2 a^2+ac+c^2 b^2+bc+c^2 sunt in progresie
a)daca nr a,b ,c sunt in progresie aritmetică sa se verifica daca a^2+c^2-b (a+c)=2 (b^2-(a*c))
Va rog

Answer 1

Se da a; b; c, progresie aritmetica ⇔2b=a+c. In aceasta ipoteza verificam daca sunt in progresie aritmetica si numerele date:1)( a^2+ab+b^2);(a^2+ac+c^2);  (b^2+bc +c^2)  ⇔2(a^2+ac+c^2)=(a^2+ab+b^2)+
(b^2+bc+c^2), ⇔ a^2+c^2+2ac-2b^2-ac-ab-bc=0⇔(a+c)^2-2b^2-b(a+c)=0⇔
 (2b)^2-2b^2-2b^2=0⇔0=0. presupunere este verificata in ipoteza data.
2) In aceias ipoteza verificam daca: a^2+c^2-b(a+c)=
2(b^2-ac) ⇔ a^2+c^2+2ac-ab-bc-2b^2=0 ⇔(a+c)^2-b(a+c+2b)⇔
(2b)^2-b(2b+2b)=0⇔4b^2-4b^2=0 adevarata,din echivalenta rezulta ca presupunera e adevarata.