Question

Sa se arate ca (1-sinβ)x^2-2xcosβ+1+sinβ ≥ 0 (∀) x, β ∈ R.

Answer 1

(1-sinβ)x²-2xcosβ+1+sinβ≥0,∀x,β∈R,avem Δ=b²-4ac=4cos²β-4(1-sinβ)(1+sinβ)  = 4cos²β-4(1-sin²β)=4cos²β-4cos²β=0, deci expresia data( functie de gradul II cu Δ=0), are pentru ∀x∈R senmul lui a=1-sinβ, sau 0(pentru radacina dubla), iar 
1-sinβ≥0, sinusul apartinand intervalului [-1, 1] pentru ∀β∈R.
Daca a=1-sinβ=0, deci functia ar fi de gradul I, asta se intampla pentru sinβ=1, atunci cosβ=0 si functia va fi  0x²-2x*0+1+1=2 >0, adica o constanta>0, deci inegalitatea este adevarata ∀x,β∈R.