Question

Sa se arate ca (2001!)^2>2001^2001.
Intebarea a mai fost dar a disparut. Rog, cu respect, pe colegii mai buni (se stiu dansii/dansele si ii stim/le stim si noi) sa raspunda cu o demonstatie prin inductie, pt n>2.

Answer 1

$P(n): (n!)^2 > n^n, n \in N$

Pasul 1:

$P(3):\;\;\; (3!)^2 > 3^3?\\P(3):\;\;\; (36 > 27?\\\\= > P(3) \;\;adevarata$

Pasul 2:

$Presupunem\;P(k)\;adevarata: (k!)^2 > k^k\\Demonstram\;ca\;P(k+1)\;este\;adevarata: [(k+1)!]^2 > (k+1)^{k+1}$

Se prelucreaza ipoteza:

$(k!)^2 > k^k\;\;/*(k+1)^2\\((k+1)!)^2 > k^k*(k+1)^2 > k^k*k^2=k^{k+2}$

Se pune intrebarea:

$k^{k+2} > (k+1)^{k+1}?\\k > (\frac{n+1}{n})^{n+1}?\\k > (1+\frac{1}{n})^{n+1}?$

Observatie:

1.Pentru k>0 =>  $(1+\frac{1}{k})^{k+1}$ este o functie strict descrescatoare.

2.Inductia trebuie demonstrata doar pentru intervalul k>3, k numar natural (pt k=3 a fost demonstrat la Pasul 1).

Rezulta:

$(1+\frac{1}{k})^{k+1} \leq (1+\frac{1}{4})^{4+1}, \forall k \in [4,\inf), k\in N\\(1+\frac{1}{k})^{k+1} \leq (1.25)^{5}\\(1+\frac{1}{k})^{k+1} \leq 3.0518 < 4 \leq k$

Astfel:

$((k+1)!)^2 > k^{k+2} > (k+1)^{k+1}, \forall k \geq4\\= > P(n)\;adevarata\;\forall\;n\geq4$

Concluzii:

In pasul 1 s-a aratat ca inductia este adevarata pt n=3

In pasul 2 s-a aratat ca inductia este adevarata pt n>3

Din (1) si (2) => P(n) adevarata pentru oricare n>2(n numar natural)

Raspuns:

$(2001!)^2 > (2001)^{2001}$