Question

Sa se arate ca.......​

Answer 1

$|a+b|\leq |a|+|b| \\ \\ |a+b+c|=|(a+b)+c|\leq |a+b|+|c| \leq |a|+|b|+|c|\\ \\ |a+b+c+d|\leq |a+b+c|+|d|\leq |a|+|b|+|c|+|d|\\ \\ General: \ \boxed{|a_1+a_2+...+a_n|\leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+...+|a_n|,\ unde \ n\in \mathbb{N^*}}\\ \\ O \ alta \ proprietate \ a \ modulului: \ \boxed{|a\cdot b|=|a|\cdot |b|}\\ \\ \\ \\ In \ cazul \ nostru:\\ \\ |a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 +a_3\cdot x_3 + ... +a_i \cdot x_i|\leq |a_1\cdot x_1|+|a_2\cdot x_2|+|a_3\cdot x_3|+...+|a_i\cdot x_i| \ (*)$

$Observatie: \ a_i\in \{-1, \ 0, \ 1 \} \Rightarrow |a_i|\in \{0, \ 1 \} \Rightarrow |a_i|\leq 1\\ \\ \Rightarrow |a_i|\cdot |x_i| \leq 1 \cdot |x_1|=|x_i|\\ \\ \\ \\ |a_1\cdot x_1|+|a_2\cdot x_2|+|a_3\cdot x_3|+...+|a_i\cdot x_i| \leq 1\cdot |x_1|+1\cdot |x_2|+1\cdot |x_3|+...+1\cdot |x_i|\\ \\ |a_1\cdot x_1|+|a_2\cdot x_2|+|a_3\cdot x_3|+...+|a_i\cdot x_i| \leq |x_1|+|x_2|+ |x_3|+...+ |x_i| \ (**)\\ \\ Din \ (*) \ si \ (**) \Rightarrow|a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 +a_3\cdot x_3 + ... +a_i \cdot x_i|\leq|x_1|+|x_2|+|x_3|+...+|x_i|$