Question

Sa se arate ca a) (3^45+7^81) divide 2

b) (2^37+5^40+1^107) divide 2

c) ( 7^75+2^53) divide 5

d) (8^128+8^126) divide 10

e) 9^53+4^50) divide 5

Answer 1

Răspuns:

a)(3⁴⁵+7⁸¹) divide 2.

   Aflam ultima cifra a rezultatului:

  Ultima cifra a puterilor a caror baza este 2, 3, 7 sau 8 se repeta din 4 in 4.

=>3K+1=3

   3K+2=9  

   3K+3=7

   3K=1

   45:3=15=>u(3⁴⁵)=1, deoarece 45:3=3K

   4K+1=1

   4K+2=9

   4K+3=3

   4K=1

   81:7=11 +4

   81:7=7K

   u(7⁸¹)=1

   u(3⁴⁵+7⁸¹)=1+1=2

   Criteriul de divizibilitate cu 2: un numar se divide cu 2 daca ultima sa cifra este 0, 2, 4, 6 sau 8.=>3⁴⁵+7⁸¹ se divide cu 2.

   b)(2³⁷+5⁴⁰+2⁵³) se divide cu 2.

   Facem acelasi lucru ca la subpunctul a).

   4K+1=2

   4K+2=4

   4K+3=8

   4K=6

   27:2=13+1=>27:2=2K+1

   u(2³⁷)=2

   53:2=26+1=>53:2=2K+1

   u(1ⁿ)=1, ∀ n ∈ N

=>u(2³⁷+5⁴⁰+1¹⁰⁷)=u(2+2+1)=5=> (2³⁷+5⁴⁰+1¹⁰⁷) nu se divide cu 2.

   c)(7⁷⁵+2⁵³) se divide cu 5.

   75:7=10+5+75:7=7K+1

  u(7⁷⁵)=1

  53:2=26+1=>53:2=2K+1

  u(2⁵³)=2

   2+1=3=>(7⁷⁵+2⁵³) nu se divide cu 5.

   d)(8¹²⁸+8¹²⁶) se divide cu 10.

   Un numar este divizibil cu 10 daca ultima sau ultimele sale cifre sunt 0.

   4K+1=8

   4K+2=4

   4K+3=2

   4K=6

   128:8=16=>128:8=2K

   u(8¹²⁸)=6

   126:8=15+6=>126:8=8K+2

   u(8¹²⁶)=4

   u(8¹²⁸+8¹²⁶)=u(6+4)=0=>(8¹²⁸+8¹²⁶) este divizibil cu 10.

   e)(9⁵³+4⁵⁰) se divide cu 5

   Un numar se divide cu 5 daca ultima sa cifra este 5 sau 0.

   Ultima cifra a unor puteri care au ca baza pe 9 sau pe 4 se repeta din 2 in 2.

   Cu 9:

   2K+1=9

   2K=1

   53:9=5+8=>53:9=2K

   u(9⁵³)=1

   Cu 4:

   2K+1=4

   2K=6

   50:4=12+2=>50:4=2K

   u(4⁵⁰)=6

   u(9⁵³+4⁵⁰)=u(6+1)=7=>(9⁵³+4⁵⁰) nu se divide cu 5.