Question

sa se arate ca ariile subgraficelor functiilor
f:[0;2]cu valori in R,f(x)=x la puterea 2+1,si
g:[-1;1]cu valori in R,g(x)=x la puterea 2-2x+2,sint egale

Answer 1

f : [0 , 2] → R , f (x) = x² + 1 ;
g : [-1 , 1] → R , g (x) = x² - 2x + 2.

Trebuie sa aratam ca :
integ. de la 0 la 2 din f (x) dx = integ. de la -1 la 1 din g (x) dx.
Dar
integ. de la 0 la 2 din f (x) dx = integ. de la 0 la 2 din (x² + 1) dx =
= x³ / 3 (de la 0 la 2) + x (de la 0 la 2) = (2³ / 3 - 0³ / 3) + (2 - 0) =
= 8 / 3 + 2 = 8 / 3 + 6 / 3 = 14 / 3

integ. de la -1 la 1 din g (x) dx = integ. de la -1 la 1 din (x² - 2x + 2) dx =
= x³ / 3 (de la -1 la 1) - 2 x² / 2 (de la -1 la 1) + 2x (de la -1 la 1) =
= [1³ / 3 - (-1³ / 3)] - [1² - (-1)²] + 2 [1 - (-1)] =
= (1 / 3 + 1 / 3) - (1 - 1) + 2 (1 + 1) =
= 2 / 3 - 0 + 4 = 2 / 3 + 4 = 2 / 3 + 12 / 3 = 14 / 3.

integ. = integrala.

Deci ariile celor doua subgrafice f si g sunt egale.
A se tine minte!!!!
∫ x la puterea n dx = (x la puterea n + 1) : (n + 1)
∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (liniaritatea integralei).