Question

sa se arate ca ca daca $a_{1} , a_{2} ,... a_{n}$ sunt numere reale pozitive in progresie aritmetica atunci :$\frac{1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{2} } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} }+ \sqrt{ a_{3} } } +..+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{n-1} }+ \sqrt{ a_{n} } } = \frac{n-1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} } }$ ∀ n≥2.

Answer 1

Fiind o progresie aritmetica, vom folosi aici: [tex] a_{k}- a_{k+1} =-r,si: a_{n}= a_{1}+(n-1)r,de.unde.deducem; [/tex], $a_{1}- a_{n}=-(n-1)r.$.
Rationalizam numitorii in membrul stang, amplificam fiecare fractie cu conjugatul numitorului si obtinem: 
$\frac{ \sqrt{ a_{1} }- \sqrt{ a_{2} } }{ a_{1}- a_{2} }+\frac{ \sqrt{ a_{2} }- \sqrt{ a_{3} } }{ a_{2}- a_{3} }+...+\frac{ \sqrt{ a_{n-1} }- \sqrt{ a_{n} } }{ a_{n-1}- a_{n} }=$, numitoriirunt egali cu -r, iar termenii se reduc si ne ramane :
$- \frac{1}{r}( \sqrt{ a_{1} }- \sqrt{ a_{n} })= - \frac{1}{r} \frac{ a_{1}- a_{n} }{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} }} = \frac{n-1}{ \sqrt{ a_{1} }+ \sqrt{ a_{n} }} ,$, la ultima fractie am folosit formula data la inceput.