Question

Sa se arate ca daca a, b \in \mathbb{N} impare consecutive a^{b}+b^{a}\ \vdots\ a+b

Answer 1

[tex]a=2n-1\\b=2n+1\\ a+b=4n\\ a^b+b^a=(2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1} \\ $In dezvoltatarea binomiala (Formula lui Newton) a lui $(2n-1)^{2n+1}$, $\\ $singurii termeni care nu contin explicit factorul $4n$ sunt ultimii 2:$\\C_{2n+1}^{2n}2n-C_{2n+1}^{2n+1},$ ceilalti continand factorul 4n$ \\ $In dezvoltatarea binomiala (Formula lui Newton) a lui $(2n+1)^{2n-1}$, $\\ $singurii termeni care nu contin explicit factorul $4n$ sunt ultimii 2:$\\ [/tex]

$C_{2n-1}^{2n-2}2n+C_{2n-1}^{2n-1}, ceilalti continand factorul 4n .\\ Adunand acesti termeni "nedivizibili" cu 4n obtinem: \\ C_{2n+1}^{2n}2n-C_{2n+1}^{2n+1}+C_{2n-1}^{2n-2}2n+C_{2n-1}^{2n-1}=\\ (2n+1)2n+(2n-1)2n=(2n+1+2n-1)2n=4n^2 \ \vdots\ 4n\\ Deci sumand cele doua dezvoltari binomiale, obtinem un multiplu al \\ lui 4n=a+b .$