Question

Sa se arate ca daca a₁,a₂,...,an sunt numere reale pozitive in progresie aritmetica,atunci:
$\frac{1}{ \sqrt{a1}+ \sqrt{a2} } + \frac{1}{ \sqrt{a2}+ \sqrt{a3} } + ...+ \frac{1}{ \sqrt{an-1}+ \sqrt{an} } = \frac{n-1}{ \sqrt{a1} + \sqrt{an} }$ ,oricare ar fi n≥2.

Answer 1

.........................

Answer 2

Raționalizăm numitorul firecărei fracții și ținem seama de faptul că diferența

a doi termeni consecutivi ai progresiei aritmetice este egală cu r (rația).

$\it \dfrac{1}{ \sqrt{a_1} +\sqrt{a_2}} = \dfrac{1}{ \sqrt{a_2} +\sqrt{a_1}} = \dfrac{\sqrt{a_2} -\sqrt{a_1}}{a_2-a_1} = \dfrac{\sqrt{a_2} -\sqrt{a_1}}{r}$

Suma devine :


[tex]\it \dfrac{\sqrt{a_2} -\sqrt{a_1} +\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2} +\sqrt{a_4}-\sqrt{a_3} +\ ...\ + \sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}} }{r} = \\\;\\ \\\;\\ = \dfrac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{r} =\dfrac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1} } = \dfrac{a_n-a_1}{r(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1})} = \\\;\\ \\\;\\ = \dfrac{(n-1)r}{r(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1})} = \dfrac{n-1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1}} [/tex]

La final, am folosit faptul că :

$\it a_n = a_1+(n-1)r \ \Rightarrow \ a_n-a_1=(n-1)r$