Question

Sa se arate ca daca atat 2n+1 cat si 3n+1 sunt patrate perfecte atunci sunt divizibile cu 5. Urgent !!! Dau coroana raspunsului corect!!

Answer 1

Banuiesc ca n este natural.
Daca n este divizibil cu 5 el este de forma: M5+rest la impartirea cu 5
la impartirea cu 5 resturile pot fi:0;1;2;3;4
n=M5+{1;2;3;4;0}
Avem de analizat 5 cazuri
Caz 1:
n=M5+1
2n+1=2(M5+1)+1=M5+2+1=M5+3
M5 par+3=3
M5 impar+3=8
un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 3 sau 8
Caz 2:
n=M5+2
2n+1=2(M5+2)+1=M5+4+1=M5
M5 par=0
M5 impar=5
Un patrat perfect poate avea ultima cifra si 0 si 5
deci adevarat
verificam a doua varianta
3n+1=3(M5+2)+1=M5+6+1=M5+7=M5+5+2=M5+2
M5 par+2=2
M5 impar+2=7
Un patrat perfect nu poate avea a doua avea ultima cifra 2 sau 7
Caz 3:
n=M5+3
3n+1=3(M5+3)+1=M5+15+1=M5+1
M5 par+1=1
M5 impar+1=6
Un patrat perfect poate avea ultima cifra 1 sau 6.
verificam varianta 2:
2n+1=2(M5+3)+1=M5+6+1=M5+7=M5+5+2=M5+2
M5 par+2=2
M5 impar+2=7
Un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 2 sau 7
Caz 4:
n=M5+4
2n+1=2(M5+4)+1=M5+8+1=M5+9=M5+5+4=M5+4
M5 par+4=4
M5 impar+4=9
Un patrat perfect poate avea ultima cifra 4 sau 9
verificam a doua varianta:
3n+1=3(M5+4)+1=M5+12+1=M5+13=M5+10+3=M5+3
M5 par+3=3
M5 impar+3=8
Un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 3 sau 8
Cazul 1,2,3 si 4 sunt in contradictie mai avem un caz de analizat
Caz 5:
n=M5+0=M5
2n+1=2(M5)+1=M5+1
M5 par+1=1
M5 impar+1=6
Un patrat perfect poate avea ultima cifra 1 si 6
verificam a doua varianta:
3n+1=3(M5)+1=M5+1
M5 par+1=1
M5 impar+1=6
Un patrat perfect poate avea ultima cifra 1 si 6
Deci aceste numere sunt simultan patrate perfecte.
Caz 5 adevarat
daca n=M5 atunci numarul e patrat perfect