Question

Sa se arate ca daca numerele a,b,c sunt in progresie aritmetica ,atunci si numerele $A_{1}$ =$a^{2}$-bc, $A_{2}$=$b^{2}$-ca, $A_{3}$=$c^{2}$-ab sunt,de asemenea, in progresie aritmetica.
R.Faptul ca a,b,c sunt in progresie aritmetica il exprimam prin 2b=a+c. A afirma ca numerele $A_{1}, A_{2} , A_{3}$ sunt in progresie aritmetica revine la a arata ca $2A_{2}=A_{1}+A_{3}$ sau $2b^{2}-2ac=(a^{2}-bc)+(c^{2}-ab)$ sau $b(2b+a+c)=(a+c)^{2}$ sau $2b(a+c)=(a+c)^{2}$ , evident daca tinem seama de conditia 2b=a+c.

Completati rezolvarea!

Answer 1

         Verificam daca a,b,c sunt in progresie aritmetica:
a=a; b=a+r; c=a+2r
2b=a+c
2(a+r)= a+a+2r<=>2a+2r=2a+2r
Deci, dupa cum observam, a,b,c, sunt in progresie aritmetica.
Acum demonstram ca A1,A2,A3 sunt in progresie aritmetica.
2A2=A1+A3
Stim ca A2:
A2=b²-ac
A2= (a+r)²-a(a+2r)
A2= a²+2ar+r²-a²-2ar
A2=r²----observam ca se reduc toti termenii asemenea, in afara de r².
Deci, 2A2=2r²
A1=a²-bc
A1= a²-(a+r)(a+2r)
A1=a²-a²-2ar-ar-2r² (se reduce a² cu -a²) si ne ramane:
-3ar-2r²
A3=c²-ab
A3= (a+2r)² -a(a+r)
A3= a²+4ar+4r²-a²-ar= 3ar+4r²
Stim ca:
2A2=A1+A3
2r²= -3ar-2r²+3ar+4r²= 2r² (s-a redus din termenii asemena)
Am ajuns la rezultatul 2r²=2r²<=>2A2=A1+A3; Dupa cum observam, A1,A2 si A3, sunt in progresie aritmetica.
Deci, a,b,c fiind in progresie aritmetica, atunci si A1, A2, A3 sunt.