Question

Sa se arate că dacă numerele a, b, c sunt în progresie geometrică, atunci:
(a+c)(b+c)(b²+c²-bc)= (b²+c²)(ab+c²)​

Dau coronița!

Answer 1

$\displaystyle\it\\pentru~ca~numerele~a,b,c~sunt~in~progresie~geometrica~rezulta~ca\\\boxed{b=\sqrt{ac}},~asadar~inlocuim~ce~am~obtinut~din~aceasta~informatie.\\-----------------------------\\(a+c)(b+c)(b^2+c^2-bc)=ab^3+ac^3+b^3c+c^4.\\(b^2+c^2)(ab+c^2)=ab^3+b^2c^2+abc^2+c^4,egalam.\\ab^3+ac^3+b^3c+c^4=ab^3+b^2c^2+abc^2+c^4,~\\reducem~termenii:ac^3+b^3c=b^2c^2+abc^2,~inlocuim.\\ac^3+ac^2\sqrt{ac}=ac^3+ac^2\sqrt{ac},~evident~adevarat.$

$\displaystyle\it\\asadar,~cand~trei~numere~sunt~in~progresie~geometrica,\\are~loc~aceasta~egalitate.$