Question

sa se arate ca daca x,y ∈[4;6], atunci xy-5(x+y)+30 ∈[4;6].

Answer 1

xy  - 5x - 5y + 30 = ( x -5 ) · ( y - 5 ) + 5 
         pentru ca       in ex. este   x - 5 
x ∈ [ 4 , 6 ]          ⇒          4 ≤ x ≤ 6           scadem  5 
                        4 - 5  ≤  x - 5  ≤ 6 - 5 
                         - 1   ≤  x - 5  ≤ 1 este definitia modulului      I x - 5 I ≤  1 
y ∈ [ 4 , 6 ]   ⇒  identic cu calculul lui x 
                                                                                        I y - 5 I ≤ 1 
  
         ⇒    I x - 5 I · I y - 5 I ≤ 1 
          - 1  ≤  ( x -5 ) · ( y -5 )  ≤ 1 
          - 1 ≤ xy - 5x -5y + 25  ≤ 1          adunam 5 
-1 + 5  ≤ xy - 5x - 5y + 30 ≤  1 + 5 
 4 ≤ xy - 5x - 5y + 30  ≤ 6 
⇒          xy - 5x - 5y  + 30 ∈ [ 4 , 6 ]