Question

Să se arate că ecuația x+lnx=0 are cel puțin o soluție în intervalul [0 , 1]

Answer 1

In primul rand enuntul e gresit,intervalul nu poate fi [0,1],fiindca conditiile de existenta a logaritmului sunt CE: x>0.
Daca intervalul este [1/e,1] solutia este:
Functia f(x)=x+lnx este continua pe intervalul [1/e,1] ,ca suma de functii elementare continue,deci are proprietatea lui Darboux pe acest interval.Cum:
f(1/e)=1/e+lne^-1=1/e-1=(1-e)/e<0  ( e este numarul lui Neper) si
f(1)=1+ln1=1+0=1>0  , sunt de semne contrare ,inseamna ca exista cel putin un punct x situat intre 1/e si 1 in care functia ia valoarea 0.
Deci ecuatia x+lnx=0 are cel putin o solutie in intervalul [1/e,1]