Question

Sa se arate că expresia nu depinde de x:​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Folosim doua din propritatile logaritmului:

logₐ$b^c$ = c*logₐ$b$

si

logₐ$b$= logₙ$b$ / logₙ$a$ ⇒ logₙ$b$ = logₙ$a$ * logₐ$b$  ⇒ log₅$x$ = log₃$x$ * log₅$3$

Asadar:

log₃$x\sqrt[3]{x}$ = log₃$\sqrt[3]{x^3*x}$ = log₃$\sqrt[3]{x^4}$ = log₃$x^{\frac{4}{3}$ =  $\frac{4}{3}$*log₃$x$

log₃$x^{-3}$ = -3*log₃$x$

log₅$x^5$ =5*log₅$x$ = 5*log₃$x$ * log₅$3$

log₅$x^2*\sqrt{x}$ =log₅$\sqrt{x^4*x}$ =log₅$\sqrt{x^5}$ = log₅$x^{\frac{5}{2}$ =  $\frac{5}{2}$*log₅$x$ =  $\frac{5}{2}$*log₃$x$*log₅$3$

Asadar, numaratorul este:

log₃$x\sqrt[3]{x}$  + log₃$x^{-3}$  = $\frac{4}{3}$*log₃$x$ - 3*log₃$x$ = log₃$x$ *($\frac{4}{3} -3$) = log₃$x$ *($\frac{4-12}{3}$)=  $-\frac{8}{3}$*log₃$x$

iar numitorul este:

log₅$x^5$ - log₅$x^2*\sqrt{x}$ = 5*log₃$x$ * log₅$3$ - $\frac{5}{2}$*log₃$x$*log₅$3$ = log₃$x$*log₅$3$ *($5-\frac{5}{2}$) =

= log₃$x$*log₅$3$ *($\frac{10-5}{2}$) = $\frac{5}{2}$*log₃$x$*log₅$3$

Si atunci expresia noastra este:

A = ($-\frac{8}{3}$*log₃$x$) / ($\frac{5}{2}$*log₃$x$*log₅$3$) = ($-\frac{8}{3}*\frac{2}{5}$*log₃$x$) / (log₃$x$*log₅$3$) = -16/(15*log₅$3$) , care nu depinde de x.