Question

Sa se arate ca f:R-->R, f(x)= (1+e^x)/(cosx-2) admite primitiva si orice primitiva a ei este o functie strict descrescatoare.
Sa se arate ca urmatoarele functii f:R-->R, a)f(x)=1+|x-2|; b)f(x)=(2+sinx)/(e^x) admit primitive si ca orice primitiva a lor este strict crescatoare.

Answer 1

O  functie  admite  primitive  daca  are  proprietatea  lui  darboux" transforma  un  interval  in  alt  interval.
Analixzam cazul  cand  x≤0    1+e^x>0, cos x-2<0  =>  ∀x≥0  ,  f(x)<0
Cazul  in  care  x>0
 x→+∞ im  f(x)=+∞/numar  negativ=-∞
Deci  f:R=(-∞ ,0)  functia  transforma  un  interval (-∞. +∞)   in alt  interval (-∞ 0) Functia  are  Prop. Darboux  admite  primitiva.Fie F  0  primitiva  a  lui  f.Atunci  F `(x)=fx).  dar  f(x)<0 ∀x  deci  F  descrescatoare
______________________________
a) explicitezi modulul 
x--2≥o  f(x)={x-1
x-2<0 {f(x)={3-x
Problema  continuitatii  se  pune  in  2
Ls x→2  x<2 limf(x) =2-1=1
Ld  x→2  x<2 limf(x)=3-2=1
f(2)=1=2-2=1
Ls=Ld=f(1)=1  deci  f  admitwe  primitiva.Fie  F  o  primitiva a  lui  f.  atunci  F `(x)=f(x)
se  observa  ca  f(x)>0  ca  suma  de  doua  numere  pozitive.  Deci primitiva  F  crescatoare
b) functia  f  e  definita  pe  R
x→+∞  f(x)→0
x→-∞  f(x)→+∞ 
Deci  f:(-∞ ,+∞)=(0 ,∞)  Functia  transforma  un  interval  in  alt  interval Deci  admite  primitive.Fie  F  o  primitiva  a  lui  f.  F `(x)=f(x)
Se  observa  ca  f(x)>0 =>  F(x)  crecatoare